خانه
گاما

درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی و آمار (1) کلاس دهم انسانی و معارف

درس 4: رسم تابع درجۀ 2

بازدید3/9 K
تاریخ بروزرسانی1401/01/24

فعالیت (صفحهٔ 63 کتاب درسی)

 

برای برگزاری یک جلسه، با کنار هم قرار دادن تعدادی میز به‌صورت مربع‌هایی $1\times 1$، یک میز مستطیل شکل به محیط ثابت 20 تهیه می‌کنیم. اندازهٔ ضلعی را که صندلی رئیس جلسه در آن قرار می‌گیرد با $x$ و اندازهٔ ضلع دیگر را با $y$ نشان می‌دهیم همچنین مساحت مستطیل را با $s$ نشان می‌دهیم.

الف) جدول زیر را کامل کنید.

9     6       2 1 $x$
            7 8 9 $y$
  16       24     9 $s$
  $\left( 8,16 \right)$     $\left( 5,25 \right)$     $\left( 2,16 \right)$ $\left( 1,9 \right)$ $\left( x,s \right)$

ب) اگر هر زوج مرتب $\left( x,s \right)$ را یک نقطه فرض کنیم، این نقاط را در دستگاه مختصات محورهای زیر مشخص کنید.

فعالیت (صفحهٔ 64 کتاب درسی)

 

یک شرکت نقاشی ساختمانی قیمتی را که برای رنگ‌آمیزی روزانهٔ هر متر مربع از دیوار بیرونی یک کارخانه تعیین می‌کند، مبلغ $1200-x$ تومان است. $x$ میزان رنگ‌آمیزی روزانهٔ گروه برحسب متر مربع است. هزینهٔ رفت‌وآمد و صرف غذای گروه به‌طور ثابت روزانه 30000 تومان و همچنین متر مربعی 200 تومان هزینهٔ لوازم مصرفی بر عهده گروه است.

الف) قیمت پرداختی شرکت برای هر متر مربع رنگ‌آمیزی به‌ازای $x=200$ (200 متر کار در یک روز) و $x=300$ چقدر است؟

ب) هزینهٔ گروه در یک روز به‌ازای $x=200$ و $x=300$ چقدر است؟

پ) اگر تابع سود گروه را با P نشان دهیم $P\left( 20 \right)$، $P\left( 100 \right)$، $P\left( 200 \right)$، $P\left( 300 \right)$ را محاسبه کنید.

$\begin{align}
  & P\left( 20 \right)=20\times \left( 1200-20 \right)-\left( 30000+20\times 200 \right)=-10400 \\ 
 & P\left( 100 \right) \\ 
 & P\left( 200 \right) \\ 
 & P\left( 300 \right) \\ 
\end{align}$

ت) حاصل $P\left( x \right)$ را به‌دست آورید و آن‌را ساده کنید.
ث) جدول زیر را برای $P\left( x \right)$ به‌ازای مقادیر مختلف x کامل کنید.

900 800 700 600 500 400 300 200 100 20 $x$
                60000 10400- $P\left( x \right)$

ج) نقاط به‌دست آمده از جدول قسمت قبل را در یک دستگاه دو محور عمود بر هم مشخص کنید. نقاط حاصل را به هم وصل کنید.

چ) چرا بعضی از نقاط، پایین‌تر از محور افقی قرار می‌گیرند ؟ آیا هرچه متراژ بیشتری رنگ‌آمیزی شود، گروه سود بیشتری کسب می‌کند؟

رسم نمودار تابع درجه دوم

معادلهٔ تابع درجهٔ دوم در حالت کلی به‌صورت $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ است که در آن $a\ne 0$ می‌باشد.
نمودار آن به یکی از دو صورت یا است که به آن سهمی می‌گوییم. در سهمی به معادله $y=a{{x}^{2}}+bx+c$، نقطه‌ای به طول $x=-\frac{b}{2a}$ رأس سهمی است. خطی که از رأس سهمی به موازات محور عرض‌ها رسم می‌شود، محور تقارن سهمی است.

- اگر در معادلهٔ سهمی $a\gt 0$ باشد، شکل سهمی به‌صورت خواهد بود. در این حالت سهمی در نقطه رأس خود دارای کمترین مقدار است.
- اگر در معادلهٔ سهمی $a\lt 0$ باشد، شکل سهمی به‌صورت خواهد بود. در این حالت سهمی در در نقطه رأس خود دارای بیشترین مقدار است.

فعالیت (صفحهٔ 66 کتاب درسی)

 

ابتدا جدول زیر را کامل کنید؛ سپس به کمک آن نمودار تابع با ضابطه $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ را رسم کنید.

....... 4 3 2 1 0 1- 2- 3- 4- ....... $x$
.......         0     9   ....... $y$

کار در کلاس (صفحهٔ 67 کتاب درسی)

 

جدول زیر را کامل کنید و به‌کمک آن نمودار تابع با ضابطهٔ $f\left( x \right)4-{{x}^{2}}$ را رسم کنید.

....... 4 3   1 0 1- 2- 3- 4- ....... $x$
.......         4         ....... $y$

کار در کلاس (صفحهٔ 67 کتاب درسی)

 

نقاط رأس سهمی‌هایی را که معادله‌های آنها داده شده است، مشخص کنید.

الف) $y={{x}^{2}}$

ب) $y=4-{{x}^{2}}$

پ) $y=2{{x}^{2}}-4x+1$

ت) $y=2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$

کار در کلاس (صفحهٔ 68 کتاب درسی)

 

الف) رأس سهمی به معادلهٔ $y=2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$ را مشخص کنید به‌کمک آن نمودار سهمی را رسم کنید.

ب) جدول زیر را کامل کنید و به‌کمک آن نمودار سهمی به معادلهٔ $y=-\frac{1}{2}{{\left( x+2 \right)}^{2}}+5$ را رسم کنید.

....... 1 0 1- 2- 3- 4- 5- ....... $x$
.......       5       ....... $y$

کار در کلاس (صفحهٔ 69 کتاب درسی)

 

1- نمودار توابع درجهٔ دوم $y=-{{x}^{2}}+6x-10$ و $y=2{{x}^{2}}+4x+1$ را رسم کنید.

2- نمودار توابع $y=-{{x}^{2}}+6x+10$ و $y={{x}^{2}}+4x-2$ را رسم کنید و در ادامه، مختصات برخورد این دو سهمی را مشخص کنید.

تمرین (صفحهٔ 70 کتاب درسی)

 

1- نمودار سهمی‌های به معادله‌های $y={{x}^{2}}-2x$ و $y=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1$ و $y={{x}^{2}}+4x+1$ را رسم کنید.

2- اگر تابع درآمد به‌صورت $y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+30x$ و تابع هزینه به‌صورت $y=18x+40$ باشد، ماکسیمم مقدار سود را مشخص کنید.

3- محیط مستطیلی 26 متر است. اگر اندازه یکی از اضلاع آن را با x و مساحت آن‌را با s نشان دهیم، ابتدا نمودار تابع مساحت را بر حسب x رسم کنید. سپس به‌کمک نمودار مشخص کنید به‌ازای چه مقداری از x مساحت مستطیل ماکسیمم می‌شود.

4- اگر $2x+a=100$ باشد x و a را طوری بیابید که $y=xa$ ماکسیمم شود.

5- در یک تولیدی، نوعی لامپ، برای مصارف پزشکی تولید می‌شود. این تولیدی هریک از لامپ‌ها را می‌تواند به قیمت 200 تومان بفروشد. اگر در هر روز x واحد لامپ تولید کند و بفروشد و تابع هزینهٔ آن برابر $c\left( x \right)={{x}^{2}}+40x+100$ باشد:

الف) تابع سود روزانه این تولیدی را بنویسید.
ب) چند لامپ در روز تولید کند تا بیشترین سود را داشته باشد؟
پ) بیشترین سود روزانهٔ این کارگاه چقدر است؟

درس 4: رسم تابع درجۀ 2